Analysis Beispiele

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s v + s}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $s$ aus $s v + s$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $s$ aus $s v$ heraus.

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s}$

Schritt 1.1.2

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s^{1}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $s$ aus $s^{1}$ heraus.

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s \cdot 1}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $s$ aus $s (v) + s \cdot 1$ heraus.

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $v + 1$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) (\frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{s + 1}{s}$ mit $\frac{1}{v + 1}$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v + 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $v + 1$ aus $s (v + 1)$ heraus.

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$(v + 1) d v = \frac{s + 1}{s} d s$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int v + 1 d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int v d v + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v$ nach $v$ gleich $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + v + C_{2} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} + \frac{1}{s} d s$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int d s + \int \frac{1}{s} d s$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \int \frac{1}{s} d s$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{s}$ nach $s$ ist $\ln (| s |)$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \ln (| s |) + C_{5}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + \ln (| s |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} v^{2} + v = s + \ln (| s |) + C$