Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y e^{x}$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ um.

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{2 e^{x} + C}$ als $e^{2 e^{x}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{2 e^{x}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{2 e^{x}}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = C e^{2 e^{x}}$ ersetzt wird.

$4 = C e^{2 e^{0}}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{2 e^{0}} = 4$ um.

$C e^{2 e^{0}} = 4$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$C e^{2} = 4$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $C e^{2} = 4$ durch $e^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{2} = 4$ durch $e^{2}$ .

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{4}{e^{2}}$

Schritt 7

Setze $\frac{4}{e^{2}}$ für $C$ in $y = C e^{2 e^{x}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{4}{e^{2}}$ und $e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 e^{x}}$ und $e^{2}$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $e^{2}$ aus $4 e^{2 e^{x}}$ heraus.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $4 e^{2 e^{x} - 2}$ durch $1$ .

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$