Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + y = \tan (x)$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = \tan (x)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \tan (x) d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x y = \int \tan (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x y = \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x y = \ln (| \sec (x) |) + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \ln (| \sec (x) |) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{x} + \frac{C}{x}$