Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 y + 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 y + 1}$ .

$\frac{1}{3 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 1} (3 y + 1)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 1} (3 y + 1)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 y + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 y + 1} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 y + 1} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 3 y + 1$ . Dann ist $d u = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 3 y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $3 y + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 1 |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 1 |) = x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 1 |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| 3 y + 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y + 1 |)}{3} = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\ln (| 3 y + 1 |)}{3} = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 3 y + 1 |) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 3 y + 1 |) = 3 x + 3 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 3 y + 1 |)} = e^{3 x + 3 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 3 y + 1 |) = 3 x + 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 3 y + 1 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 3 y + 1 | = e^{3 x + 3 C}$ um.

$| 3 y + 1 | = e^{3 x + 3 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 y + 1 = \pm e^{3 x + 3 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}{3}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{3 x + C} - 1}{3}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{3 x + C}$ als $e^{3 x} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}{3}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{3 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}{3}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{3 x} - 1}{3}$