Analysis Beispiele

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

Schritt 1

Wenn $v = \frac{d q}{d t}$ . Dann $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . Setze $v$ für $\frac{d q}{d t}$ ein und $\frac{d v}{d t}$ für $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ , um eine Differentialgleichung mit der abhängigen Variablen $v$ und unabhängigen Variablen $t$ zu erhalten.

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Löse nach $\frac{d v}{d t}$ auf.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $25 v$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d v}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

Schritt 2.1.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 25 v)$ als $- (- 25 v)$ um.

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $25$ und $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

Schritt 3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C_{3}$ zusammen.

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

Schritt 4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.1

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

Schritt 4.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ um.

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

Schritt 4.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $e^{25 t + C_{3}}$ als $e^{25 t} e^{C_{3}}$ um.

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

Schritt 5.2

Stelle $e^{25 t}$ und $e^{C_{3}}$ um.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

Schritt 5.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = C_{4} e^{25 t}$

Schritt 6

Ersetze alle $v$ durch $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

Schritt 7

Schreibe die Gleichung um.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

Schritt 8

Integriere beide Seiten.

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Schritt 8.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Schritt 8.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Da $C_{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $C_{4}$ aus dem Integral.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

Schritt 8.3.2

Sei $u = 25 t$ . Dann ist $d u = 25 d t$ , folglich $\frac{1}{25} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.3.2.1

Es sei $u = 25 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Differenziere $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

Schritt 8.3.2.1.2

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $25 t$ nach $t$ gleich $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Schritt 8.3.2.1.4

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$25$

Schritt 8.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

Schritt 8.3.4

Da $\frac{1}{25}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{25}$ aus dem Integral.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Schritt 8.3.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

Schritt 8.3.6

Vereinfache.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

Schritt 8.3.7

Ersetze alle $u$ durch $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

Schritt 8.3.8

Stelle die Terme um.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

Schritt 8.3.9

Stelle die Terme um.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

Schritt 8.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$