Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 6 x d x$

Schritt 1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = 6 \int x d x$

Schritt 1.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{1}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{1}$

Schritt 1.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (3 x^{2} + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = 3 \int x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{2} = x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = x^{3} + C x + D$