Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Schritt 1.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Schritt 1.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.5

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Schritt 3.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$