Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d t} = 4 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d r = (4 t + \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d r = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$r + C_{1} = \int 4 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = 4 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.4

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$r + C_{1} = 2 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- π$ für $t$ und $3$ für $r$ in $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ ersetzt wird.

$3 = 2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$ um.

$2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- π$ an.

$2 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$2 π^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 π^{2} - \tan (0) + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.5

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 π^{2} - 0 + K = 3$

Schritt 4.2.1.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 π^{2} + 0 + K = 3$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $2 π^{2}$ und $0$ .

$2 π^{2} + K = 3$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2 π^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3 - 2 π^{2}$

Schritt 5

Setze $3 - 2 π^{2}$ für $K$ in $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $3 - 2 π^{2}$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + 3 - 2 π^{2}$