Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x - 2} y = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x - 2}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x - 2} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{2}{x - 2}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x - 2} d x}$

Schritt 1.2.2

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 1.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

Schritt 1.2.5

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$e^{2 \ln (| x - 2 |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x - 2)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(x - 2)}^{2})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.6

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$(x - 2) (x - 2)$

Schritt 1.7

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.8.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2} - 4 x + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{2}{x - 2}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $x^{2} - 4 x + 4$ mit $\frac{2 y}{x - 2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.2.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 2)}^{2}$ und $x - 2$ .

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Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x - 2)}^{2} \cdot 2 y$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2.4

Dividiere $(x - 2) \cdot 2 y$ durch $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x - 2) \cdot 2 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 4) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.3

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) ((x - 2) (x - 2))$

Schritt 2.4

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 2.5.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 2.6

Multipliziere $(x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2 + 2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1

Bewege $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.7.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.7.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 1} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.7.1

Bewege $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 4$

Schritt 2.7.11

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 2.8

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 2.9

Addiere $4 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 2.10

Addiere $20 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 16 x - 16 x + 16$

Schritt 2.11

Subtrahiere $16 x$ von $- 16 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] d x = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} d x + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Schritt 6.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 \int x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Schritt 6.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Schritt 6.5

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Schritt 6.7

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 32$ aus dem Integral.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 \int x d x + \int 16 d x$

Schritt 6.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 16 d x$

Schritt 6.9

Wende die Konstantenregel an.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Schritt 6.10

Vereinfache.

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Schritt 6.10.1

Vereinfache.

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Schritt 6.10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Schritt 6.10.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Schritt 6.10.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 16 x + C$

Schritt 6.10.2

Vereinfache.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

Schritt 6.10.3

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ durch $x^{2} - 4 x + 4$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ durch $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) y}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.3.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 7.3.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.4

Kombinieren.

$y = \frac{x^{5} \cdot 1}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.5

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.3.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 7.3.1.6.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.3.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 7.3.1.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.3.1.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 7.3.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.11

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.3.1.11.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.11.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 7.3.1.11.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.11.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 7.3.1.12

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.3.1.12.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 7.3.1.12.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 7.3.1.12.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 7.3.1.12.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$