Analysis Beispiele

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + e^{2 x}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e^{x}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} y^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 x}$ und $e^{x}$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{2 x}$ heraus.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Schritt 3.7.2.4

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ als $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.3.4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Schritt 4.3.9

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Schritt 4.3.10

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Schritt 4.3.11

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{3}}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Schritt 5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $3$ aus $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 e^{- x}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{x}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$