Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 2 x) + 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = 3 y + 3 (2 x) + 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 3 (2 x) + 1$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 \cdot 3 x + 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 3$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 3 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 3 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $e^{- 3 x}$ mit $1$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ um.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = 6 \int x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.4.3

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ mit $1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.8

Sei $u_{1} = - 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.8.1

Es sei $u_{1} = - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.8.1.1

Differenziere $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 7.8.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 7.8.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 7.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.9.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.11

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.12

Vereinfache.

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Schritt 7.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.13

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 7.14

Sei $u_{2} = - 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.14.1

Es sei $u_{2} = - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.14.1.1

Differenziere $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 7.14.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.14.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 7.14.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 7.14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Schritt 7.15

Vereinfache.

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Schritt 7.15.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Schritt 7.15.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Schritt 7.16

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Schritt 7.17

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7.18

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 7.19

Vereinfache.

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Schritt 7.19.1

Vereinfache.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.19.2

Vereinfache.

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Schritt 7.19.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.19.2.2

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{x}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.19.2.3

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.20

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.20.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.20.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Schritt 7.21

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Schritt 7.22

Stelle die Terme um.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} (e^{- 3 x} x)$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.1.2

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x e^{- 3 x}}{3}$ in den Zähler.

$e^{- 3 x} y = 6 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$e^{- 3 x} y = 3 (2) \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 3 x} y = 2 (- x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 3 x}}{9}$ in den Zähler.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{2 (- e^{- 3 x})}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.9

Um $- 2 x e^{- 3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.10

Kombiniere $- 2 x e^{- 3 x}$ und $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.12.1

Faktorisiere $2 e^{- 3 x}$ aus $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}$ heraus.

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Schritt 8.1.12.1.1

Faktorisiere $2 e^{- 3 x}$ aus $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ heraus.

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.12.1.2

Faktorisiere $2 e^{- 3 x}$ aus $- 2 e^{- 3 x}$ heraus.

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.12.1.3

Faktorisiere $2 e^{- 3 x}$ aus $2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)$ heraus.

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3 - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 3 x - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.14

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1 (1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (1)$ heraus.

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.16

Schreibe $- (3 x + 1)$ als $- 1 (3 x + 1)$ um.

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 1 (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 3 x} y = - \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.18

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3}$ um.

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Schritt 8.1.19

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ durch $e^{- 3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ durch $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x + 1) - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x) - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.2.3.3.1

Subtrahiere $e^{- 3 x}$ von $- 2 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.3.2

Stelle die Faktoren in $- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}$ um.

$y = \frac{C + \frac{- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.4.1

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$ heraus.

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Schritt 8.2.3.4.1.1

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $- 6 x e^{- 3 x}$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.1.2

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $- 3 e^{- 3 x}$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.1.3

Faktorisiere $3 e^{- 3 x}$ aus $3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.2.2

Dividiere $e^{- 3 x} (- 2 x - 1)$ durch $1$ .

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.4.6

Schreibe $- 1 e^{- 3 x}$ als $- e^{- 3 x}$ um.

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.3.5

Stelle die Faktoren in $C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ um.

$y = \frac{C - 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$