Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x y = y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = y - x y$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $y - x y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} - x y$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 - x y$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (- x)$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (1 - x)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - x))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - x))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (1 - x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$ als $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$