Analysis Beispiele

$(1 + y) d x + (1 - x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + y) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 - x^{2}) d y = - (1 + y) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $1 + y$ aus $(1 - x^{2}) (1 + y)$ heraus.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1^{2} - x^{2}} d x$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 1 + y$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.3.2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.3.2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.3.2.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Schritt 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 4.3.2.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.1.2

Dividiere $(A) (1 - x)$ durch $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 4.3.2.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.5.2

Dividiere $(B) (1 + x)$ durch $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Schritt 4.3.2.1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Schritt 4.3.2.1.6.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Schritt 4.3.2.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.7.1

Bewege $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 4.3.2.1.7.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 4.3.2.1.7.3

Bewege $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Schritt 4.3.2.1.7.4

Bewege $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.3.2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.2.3.1

Löse in $1 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 4.3.2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 1$ um.

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.2.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 1 A + B$ durch $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (1 - B) + B$ .

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3

Löse in $0 = - 1 + 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + 2 B = 0$ um.

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 1 - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.4.2.1

Vereinfache $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 4.3.2.3.4.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.4.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Schritt 4.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.5

Sei $u_{2} = 1 + x$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Es sei $u_{2} = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.5.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.3.5.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Schritt 4.3.8

Sei $u_{3} = 1 - x$ . Dann ist $d u_{3} = - d x$ , folglich $- d u_{3} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.3.8.1

Es sei $u_{3} = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.8.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.8.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 4.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 4.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Schritt 4.3.11

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Schritt 4.3.12

Vereinfache.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 4.3.13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 4.3.13.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 4.3.13.2

Ersetze alle $u_{3}$ durch $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 4.3.14

Vereinfache.

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Schritt 4.3.14.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.14.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.15

Stelle die Terme um.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.3

Um $\ln (| 1 + y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $\ln (| 1 + y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ .

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Schritt 5.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| 1 + y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.6.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| 1 + y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.6.1.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2} \frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.6.1.1.4

Kombiniere ${(1 + y)}^{2}$ und $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Schritt 5.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Schritt 5.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.6.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.6.1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}$ an.

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2} | 1 + x |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.6.1.4.2

Wende die Produktregel auf ${(1 + y)}^{2} | 1 + x |$ an.

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.6.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.6.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.6.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.6.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.6.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.6.1.6

Stelle die Faktoren in $\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})$ um.

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Schritt 5.8

Schreibe $\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ um.

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Schritt 5.9.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.3.1

Vereinfache $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y) = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.9.3.1.3.1

Mutltipliziere ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3.1.3.2

Stelle die Faktoren in ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y$ um.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3.1.3.3

Stelle $1$ und $x$ um.

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3.1.3.4

Stelle $1$ und $x$ um.

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.3.1.3.5

Stelle ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ und $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ um.

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.9.4.1

Subtrahiere ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.4.2

Teile jeden Ausdruck in $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ durch ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ durch ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.9.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.9.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.9.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$