Analysis Beispiele

$y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ durch $y (x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ durch $y (x + 1)$ .

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{(x + 1) y}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(x + 1) y$ heraus.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $y^{2} + 1$ aus $x (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Schritt 1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 2.3.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 2.3.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 2.3.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 2.3.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.5

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x + 2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x - 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |) = 2 x + 2 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x + 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 x + 2 C$

Schritt 3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2})} = e^{2 x + 2 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ um.

$| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$

Schritt 3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ durch ${(x + 1)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ durch ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2.1.2

Dividiere $| y^{2} + 1 |$ durch $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1$

Schritt 3.7.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{2 x + C}$ als $e^{2 x} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x} e^{C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{2 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{C} e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C \frac{C e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$