Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Schreibe $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $4$ für $y$ in $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ ersetzt wird.

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ um.

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} + K = 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{4}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 4 - \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$K = \frac{12 - 4}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$K = \frac{8}{3}$

Schritt 5

Setze $\frac{8}{3}$ für $K$ in $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{8}{3}$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$