Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y \cos (x)$ , $y (0) = 17$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \sin (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\sin (x) + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = \sin (x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\sin (x) + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\sin (x) + C}$ um.

$| y | = e^{\sin (x) + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\sin (x) + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\sin (x) + C}$ als $e^{\sin (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\sin (x)} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\sin (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\sin (x)}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $17$ für $y$ in $y = C e^{\sin (x)}$ ersetzt wird.

$17 = C e^{\sin (0)}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{\sin (0)} = 17$ um.

$C e^{\sin (0)} = 17$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\sin (0)} = 17$ durch $e^{\sin (0)}$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\sin (0)} = 17$ durch $e^{\sin (0)}$ .

$\frac{C e^{\sin (0)}}{e^{\sin (0)}} = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\sin (0)}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C e^{\sin (0)}}{e^{\sin (0)}} = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$C = \frac{17}{e^{0}}$

Schritt 6.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C = \frac{17}{1}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $17$ durch $1$ .

$C = 17$

Schritt 7

Setze $17$ für $C$ in $y = C e^{\sin (x)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $17$ .

$y = 17 e^{\sin (x)}$