Analysis Beispiele

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ durch $N$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ durch $N$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d N}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Schritt 1.1.3.1.2

Dividiere $t e^{t + 2}$ durch $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d N = t e^{t + 2} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = t + 2$ . Dann ist $d u = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = t + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$