Analysis Beispiele

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = \ln (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $\ln (y)$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y e^{y}$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

Schritt 1.4.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 - x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x y e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Da $- y e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y e^{y}$ nach $x$ gleich $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $1 - x y e^{y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $x y e^{y}$ von $x (- y e^{y})$ .

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Schritt 2.4.1

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $x y e^{y}$ von $- 1 \cdot x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x y e^{y} + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 x y e^{y} + 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.3

Entferne die Klammern.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $- 2 x y e^{y}$ und $2 e^{y} x y$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Bewege $e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.4.2

Addiere $- 2 x y e^{y}$ und $2 x y e^{y}$ .

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.2.7

Addiere $2 e^{y} x$ und $0$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (y)$ heraus.

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y e^{y}$ heraus.

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ heraus.

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 e^{y} x - \ln (y)$ und $\ln (y) - 2 x e^{y}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 e^{y} x$ heraus.

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (y)$ heraus.

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ heraus.

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ als $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ um.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Schritt 4.3.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Schritt 4.3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Schritt 4.3.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (y)$ heraus.

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y e^{y}$ heraus.

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ heraus.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Dividiere $\ln (y) - 2 x e^{y}$ durch $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x (1 - x y e^{y})$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.9.1

Bewege $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $x - x^{2} y e^{y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.11

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2} y e^{y}$ heraus.

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Schritt 6.11.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.11.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.11.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} y e^{y}$ heraus.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

Schritt 6.11.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ heraus.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

Schritt 8.3

Da $- 2 e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2 e^{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\ln (y) x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.3.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{y} x^{2}$ nach $y$ gleich $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 11.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ um.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Schritt 12.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Schritt 12.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Schritt 12.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Schritt 12.1.3.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.3.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

Schritt 12.1.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

Schritt 12.1.3.4

Multipliziere $- x^{2} (- y e^{y})$ .

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Schritt 12.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

Schritt 12.1.3.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Schritt 12.1.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Schritt 12.1.5

Addiere $0$ und $x^{2} y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Schritt 12.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 12.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Schritt 12.1.6.2

Dividiere $x^{2} e^{y}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

Schritt 12.1.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ .

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Schritt 12.1.7.1

Addiere $- x^{2} e^{y}$ und $x^{2} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Schritt 12.1.7.2

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Schritt 15

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$