Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ als $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- 1$ für $x$ und $- 5$ für $y$ in $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ ersetzt wird.

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ um.

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

Schritt 4.2.4

Berechne den Exponenten.

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 9 + K = - 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 5 + 9$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 5$ und $9$ .

$K = 4$

Schritt 5

Setze $4$ für $K$ in $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $4$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$