Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (y - 3)$ , $y (0) = 6$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (x^{3} (y - 3))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y - 3$ aus $x^{3} (y - 3)$ heraus.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 3} d y = x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 3$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y - 3 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ um.

$| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Schritt 3.3.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C} + 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ als $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C} + 3$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $6$ für $y$ in $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ ersetzt wird.

$6 = C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$ um.

$C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$C e^{\frac{0}{4}} + 3 = 6$

Schritt 6.2.2

Dividiere $0$ durch $4$ .

$C e^{0} + 3 = 6$

Schritt 6.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C \cdot 1 + 3 = 6$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C + 3 = 6$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 6 - 3$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$C = 3$

Schritt 7

Setze $3$ für $C$ in $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $3$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$