Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Schritt 1

Schreibe das Problem als einen mathematischen Ausdruck.

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.5

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Schritt 2.6

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.1

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x y$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $y$ von $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Schritt 6.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | x | + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2} + x$ mit $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Schritt 7.3.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $x y$ mit $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1

Bewege $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = x^{2} y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Schritt 9.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 12.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3.3

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3.6

Kombiniere $\frac{2 y^{2}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.3.7.2

Dividiere $y^{2} x$ durch $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

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Schritt 13.1.2.1

Subtrahiere $y^{2} x$ von $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Schritt 13.1.2.2

Addiere $x^{3} + x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $x^{3} + x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Schritt 14.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 14.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Schritt 14.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 14.6

Vereinfache.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 16.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 16.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$