Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x = y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + x - y = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y = - x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x e^{- x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x e^{- x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - \int x e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 7.5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 7.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 7.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Schritt 7.8

Schreibe $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ als $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ um.

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Schritt 7.9

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Schritt 7.10

Vereinfache.

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Schritt 7.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} y = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Schritt 7.10.2

Multipliziere $- (- x e^{- x})$ .

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Schritt 7.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Schritt 7.10.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

Schritt 7.10.3

Multipliziere $- - e^{- x}$ .

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Schritt 7.10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

Schritt 7.10.3.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$