Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Schritt 2.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $4 e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

Schritt 2.5

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung nach $r$ auf.

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Schritt 3.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x} + c_{2} e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$