Analysis Beispiele

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} y - 4 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} y$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x y) + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.6.1

Addiere $3 y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Schritt 3.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $3 x y - 4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Schritt 3.4.8.2

Addiere $3 x y$ und $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.3

Kombiniere $\frac{x \cdot 6}{2}$ und $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x y$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.5.2.4

Dividiere $3 x y$ durch $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.5.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Schritt 3.5.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 3.5.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.5.2.7.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2 x y - 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x y - 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $3 x y - 2$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x y - 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $x y^{2} - y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $x y^{2} - y$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Schritt 5.3.2.4

Subtrahiere $2 x y$ von $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Schritt 5.3.2.5

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Schritt 5.3.2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x y^{2} - y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x y) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $x y^{2} - y$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Schritt 6.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | y | + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x y^{2} - y$ mit $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1

Bewege $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1

Bewege $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ mit $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Schritt 7.6

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} y - 4 x$ heraus.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} y$ heraus.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Schritt 7.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x y) + x \cdot - 4$ heraus.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Schritt 7.7

Kombiniere $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ und $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Schritt 7.8

Stelle die Faktoren in $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ um.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $\frac{x}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{x}{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Schritt 9.2

Multipliziere $y (3 x y - 4)$ aus.

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Schritt 9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Schritt 9.2.2

Versetze die Klammern.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Schritt 9.2.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Schritt 9.2.4

Stelle $y$ und $3$ um.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Schritt 9.2.5

Stelle $y$ und $- 4$ um.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Schritt 9.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Schritt 9.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Schritt 9.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Schritt 9.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Schritt 9.5

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Schritt 9.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Schritt 9.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Schritt 9.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Schritt 9.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Schritt 9.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Schritt 9.11

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Schritt 9.12

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

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Schritt 12.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{x}{2}$ und $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{3} - 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.4

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{3}$ nach $x$ gleich $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.6

Da $- 2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.9

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.10

Addiere $y^{3}$ und $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.11

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.13

Um $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.14

Kombiniere $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.16

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.18

Mutltipliziere $x y^{3} - 2 y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.3.19

Addiere $x y^{3}$ und $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 12.5.1.1

Um $\frac{d g}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.2

Kombiniere $\frac{d g}{d x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ und $2$ .

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Schritt 12.5.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y^{3}$ heraus.

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ heraus.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{d g}{d x}$ heraus.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ heraus.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.1.5.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.1.5.6.4

Dividiere $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ durch $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 12.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Schritt 13.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

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Schritt 13.1.3.1

Addiere $- y^{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Schritt 13.1.3.2

Addiere $x y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Schritt 13.1.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $x y^{3}$ und $- y^{3} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Schritt 13.1.3.4

Subtrahiere $y^{3} x$ von $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 14.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 14.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Schritt 16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.3

Multipliziere $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

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Schritt 16.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.3.6

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Schritt 16.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Schritt 16.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Schritt 16.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Schritt 16.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$