Analysis Beispiele

$(2 x y + y^{3} \cos (x)) d x + (x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3} \cos (x)]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + y^{3} \cos (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} \cos (x)$ nach $y$ gleich $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) (3 y^{2})$

Schritt 1.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \cos (x) y^{2}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2} \sin (x)$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cos (x)$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} \sin (x) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Schritt 5.3

Da $3 \sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3 \sin (x)$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) \int y^{2} d y$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{2} y + 3 \sin (x) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3}{3} \sin (x) y^{3} + C$

Schritt 5.6.2

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $\sin (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.6.3.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sin (x) y^{3}$ nach $x$ gleich $y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y x + y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $y^{3} \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) + 0 - y^{3} \cos (x)$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $y^{3} \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) - y^{3} \cos (x)$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $y^{3} \cos (x)$ von $y^{3} \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$ um.

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} \sin (x) + C$