Analysis Beispiele

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ durch $1 + \cos (2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ durch $1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \cos (2 x)$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 2.3.6

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (x)$ nach $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ zu transformieren.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an, um $1$ in $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ umzuwandeln.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Subtrahiere ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ von ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Schritt 2.3.8.2

Addiere ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ und ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Schritt 2.3.8.3

Addiere $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ und $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.9

Multipliziere das Argument mit $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.10

Kombinieren.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.12

Schreibe $\sec (\frac{u}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Schritt 2.3.13

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ an.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Schritt 2.3.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Schritt 2.3.15

Multipliziere $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

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Schritt 2.3.15.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.15.2

Kombiniere $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ und $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Schritt 2.3.16

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.17

Schreibe $\sec (\frac{u}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.18

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ an.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.19

Kombinieren.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Schritt 2.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

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Schritt 2.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Schritt 2.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.22

Multipliziere mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Schritt 2.3.23

Separiere Brüche.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 2.3.24

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ nach $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ um.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Schritt 2.3.25

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.25.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Schritt 2.3.25.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.26

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Schritt 2.3.27

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.27.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.27.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Schritt 2.3.27.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.3.27.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.27.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.3.27.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.28

Vereinfache.

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Schritt 2.3.28.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Schritt 2.3.28.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

Schritt 2.3.28.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.29

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 2.3.30

Vereinfache.

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Schritt 2.3.30.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.30.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.30.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.30.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.30.3

Mutltipliziere $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.31

Da die Ableitung von $\tan (u_{2})$ gleich $\sec^{2} (u_{2})$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u_{2})$ gleich $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.32

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.32.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.32.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.33

Vereinfache.

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Schritt 2.3.33.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.33.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.33.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

Schritt 2.3.33.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \tan (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\frac{π}{4}$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \tan (x) + K$ ersetzt wird.

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ um.

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$1 + K = 1$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$K = 0$

Schritt 5

Setze $0$ für $K$ in $y = \tan (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $0$ .

$y = \tan (x) + 0$

Schritt 5.2

Addiere $\tan (x)$ und $0$ .

$y = \tan (x)$