Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 7$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 2$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 7$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 7$

Schritt 2.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 7 \cdot e^{2 t}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 7 e^{2 t}$ um.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 7 e^{2 t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 7 e^{2 t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 7 e^{2 t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{2 t} y = \int 7 e^{2 t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$e^{2 t} y = 7 \int e^{2 t} d t$

Schritt 6.2

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 6.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 t} y = 7 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = 7 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 t} y = 7 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $7$ .

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{2 t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{2 t} + C$ durch $e^{2 t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{2 t} + C$ durch $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 t}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $\frac{7}{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 1$ um.

$\frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 1$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{7}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{7}{2} + \frac{C}{1} = 1$

Schritt 9.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\frac{7}{2} + C = 1$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $\frac{7}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 - \frac{7}{2}$

Schritt 9.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{2}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 9.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{2 - 7}{2}$

Schritt 9.3.4

Subtrahiere $7$ von $2$ .

$C = \frac{- 5}{2}$

Schritt 9.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{5}{2}$

Schritt 10

Setze $- \frac{5}{2}$ für $C$ in $y = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$y = \frac{7}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{e^{2 t}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{2 t}}$ mit $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{7}{2} - \frac{5}{e^{2 t} \cdot 2}$

Schritt 10.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 t}$ .

$y = \frac{7}{2} - \frac{5}{2 e^{2 t}}$