Analysis Beispiele

$(y e^{x y} + 2 x - 1) d x + (x e^{x y} - 2 y + 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y e^{x y} + 2 x - 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y} + 2 x - 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{x y} + 2 x - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0 + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x y + e^{x y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x e^{x y} - 2 y + 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y} - 2 y + 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x y} - 2 y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0 + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1.1

Addiere $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0$

Schritt 2.5.1.2

Addiere $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x y + e^{x y}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x y e^{x y} + e^{x y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $x y e^{x y} + e^{x y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x y} - 2 y + 1 d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x e^{x y} - 2 y + 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x e^{x y} d y + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \int e^{x y} d y + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.3

Sei $u = x y$ . Dann ist $d u = x d y$ , folglich $\frac{1}{x} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.3.1

Es sei $u = x y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Differenziere $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 5.3.1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x$

Schritt 5.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{x} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{x} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.5

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x (\frac{1}{x} \int e^{u} d u) + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 y d y + \int d y$

Schritt 5.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 \int y d y + \int d y$

Schritt 5.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y$

Schritt 5.10

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C$

Schritt 5.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C$

Schritt 5.12

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{u} - y^{2} + y + C$

Schritt 5.13

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y} - y^{2} + y + g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

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Schritt 8.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 8.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.3.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$e^{x y} y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 8.4.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x y} y + 0 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.4.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x y} y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$e^{x y} y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 8.6.1.1

Addiere $e^{x y} y$ und $0$ .

$e^{x y} y + 0 + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.6.1.2

Addiere $e^{x y} y$ und $0$ .

$e^{x y} y + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x y} y = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 8.6.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x y} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x y} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1 - y e^{x y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y e^{x y} + 2 x - 1 - y e^{x y}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y e^{x y}$ von $y e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 1 + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 1$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 x - 1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 10.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 10.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Schritt 10.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Schritt 10.8

Vereinfache.

$g (x) = x^{2} - x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + x^{2} - x + C$