Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = 8 - 3 x$ ; , $x (0) = 4$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{8 - 3 x}$ .

$\frac{1}{8 - 3 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{8 - 3 x} (8 - 3 x)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 - 3 x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8 - 3 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{8 - 3 x} (8 - 3 x)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8 - 3 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{8 - 3 x} d x = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{8 - 3 x} d x = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 8 - 3 x$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 8 - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $8 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 - 3 x]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int d t$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d t$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $8 - 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |) = t + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |)) = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 8 - 3 x |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 8 - 3 x |)}{3}) = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 8 - 3 x |)}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- \ln (| 8 - 3 x |)}{3} = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 8 - 3 x |)}{3} = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 8 - 3 x |)}{3} = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 8 - 3 x |) = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 8 - 3 x |) = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 8 - 3 x |)$ mit $1$ .

$\ln (| 8 - 3 x |) = - 3 (t + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 8 - 3 x |) = - 3 t - 3 C$

Schritt 3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 8 - 3 x |)} = e^{- 3 t - 3 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 8 - 3 x |) = - 3 t - 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 t - 3 C} = | 8 - 3 x |$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 8 - 3 x | = e^{- 3 t - 3 C}$ um.

$| 8 - 3 x | = e^{- 3 t - 3 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$8 - 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C} - 8$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C} - 8$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C} - 8$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3} + \frac{- 8}{- 3}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3} + \frac{- 8}{- 3}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3} + \frac{- 8}{- 3}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3}$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{3} + \frac{- 8}{- 3}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C} + 8}{3}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \frac{\pm e^{- 3 t + C} + 8}{3}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- 3 t + C}$ als $e^{- 3 t} e^{C}$ um.

$x = \frac{\pm e^{- 3 t} e^{C} + 8}{3}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- 3 t}$ und $e^{C}$ um.

$x = \frac{\pm e^{C} e^{- 3 t} + 8}{3}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$x = \frac{C e^{- 3 t} + 8}{3}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $4$ für $x$ in $x = \frac{C e^{- 3 t} + 8}{3}$ ersetzt wird.

$4 = \frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} = 4$ um.

$\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} = 4$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{C e^{0} + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{C \cdot 1 + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.1.3

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$\frac{C + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$C + 8 = 4 \cdot 3$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$C + 8 = 12$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 12 - 8$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$C = 4$

Schritt 7

Setze $4$ für $C$ in $x = \frac{C e^{- 3 t} + 8}{3}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $4$ .

$x = \frac{4 e^{- 3 t} + 8}{3}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{- 3 t} + 8$ heraus.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{- 3 t}$ heraus.

$x = \frac{4 (e^{- 3 t}) + 8}{3}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 e^{- 3 t} + 4 \cdot 2}{3}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{- 3 t} + 4 \cdot 2$ heraus.

$x = \frac{4 (e^{- 3 t} + 2)}{3}$