Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} - \frac{\sin (y)}{y^{2}} = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $\frac{\sin (y)}{y^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $\frac{2 x y}{y^{2}}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + x \frac{2 y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 1.3

Stelle $x$ und $\frac{2 y}{y^{2}}$ um.

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 y}{y^{2}} x = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (y) d y}$ , wobei $P (y) = \frac{2 y}{y^{2}}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2 y}{y^{2}} d y}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| y |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (y)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (y^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2 y}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2}{y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{2}{y}$ und $x$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y (2 x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = \sin (y)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] = \sin (y)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d y} [y^{2} x] d y = \int \sin (y) d y$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$y^{2} x = \int \sin (y) d y$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$y^{2} x = - \cos (y) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} x = - \cos (y) + C$ durch $y^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} x = - \cos (y) + C$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$