Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = y + t^{3}$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} - y = t^{3}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d t}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- t + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- t}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} t^{3}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$ um.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = t^{3} e^{- t}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = t^{3} e^{- t}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int t^{3} e^{- t} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- t} y = \int t^{3} e^{- t} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t^{3}$ und $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (3 t^{2}) d t$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - 3 e^{- t} t^{2} d t$

Schritt 7.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - (- 3 \int e^{- t} t^{2} d t)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 \int e^{- t} t^{2} d t$

Schritt 7.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t^{2}$ und $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (2 t) d t)$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - 2 e^{- t} t d t)$

Schritt 7.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - (- 2 \int e^{- t} t d t))$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 \int e^{- t} t d t)$

Schritt 7.9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t))$

Schritt 7.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t))$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t))$

Schritt 7.11.2

Mutltipliziere $\int e^{- t} d t$ mit $1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t))$

Schritt 7.12

Sei $u = - t$ . Dann ist $d u = - d t$ , folglich $- d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.12.1

Es sei $u = - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 7.12.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 7.12.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7.12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u))$

Schritt 7.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u))$

Schritt 7.14

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$

Schritt 7.15

Schreibe $t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$ als $- t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$ um.

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$

Schritt 7.16

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ durch $e^{- t}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ durch $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $- t^{3}$ durch $1$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t} - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.6

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$ heraus.

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Schritt 8.3.1.2.6.1

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- t^{2} e^{- t}$ heraus.

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.6.2

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- 2 t e^{- t}$ heraus.

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.6.3

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- 2 e^{- t}$ heraus.

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.6.4

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ heraus.

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.2.6.5

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2$ heraus.

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Dividiere $3 (- t^{2} - 2 t - 2)$ durch $1$ .

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2} - 2 t - 2) + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2}) + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8.3.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t - 6 + \frac{C}{e^{- t}}$