Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = \ln (t) + 4 t$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = (\ln (t) + 4 t) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int \ln (t) + 4 t d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int \ln (t) + 4 t d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{1} = \int \ln (t) d t + \int 4 t d t$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (t)$ und $d v = 1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t + \int 4 t d t$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{t}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

Schritt 2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int d t + \int 4 t d t$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + \int 4 t d t$

Schritt 2.3.5

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 \int t d t$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 2 t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$s + C_{1} = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + K$