Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{4 - x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = e^{4 - x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int e^{4 - x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int e^{4 - x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 4 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 4 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$y + C_{1} = - e^{4 - x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - e^{4 - x} + K$