Analysis Beispiele

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 (2 y) + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.7

Da $5 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x y$ nach $y$ gleich $5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.10

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 1.13

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + 0)$

Schritt 1.14

Addiere $4 y + 5 x - 2$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2)$

Schritt 1.15

Vereinfache.

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Schritt 1.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.15.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.15.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.15.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x + 2 \cdot - 2$

Schritt 1.15.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x - 4$

Schritt 1.15.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 10 x + 8 y - 4$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (2 x + 2 y - 1)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 x + 2 y - 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [2 x + 2 y - 1] + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 2 y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.8.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 2 + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot x + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + (2 x + 2 y - 1) \cdot 1$

Schritt 2.3.10

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.10.1

Mutltipliziere $2 x + 2 y - 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 x + 2 y - 1$

Schritt 2.3.10.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 y - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $10 x + 8 y - 4$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 x + 2 y - 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $10 x + 8 y - 4$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $4 x + 2 y - 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x (2 x + 2 y - 1)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x (2 x + 2 y - 1)$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x) - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $10 x$ .

$\frac{6 x + 8 y - 4 - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 y$ von $8 y$ .

$\frac{6 x + 6 y - 4 + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.5

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\frac{6 x + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $3$ aus $6 x + 6 y - 3$ heraus.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{3 (2 x) + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $3$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.6.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (2 y)$ heraus.

$\frac{3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.2.6.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 2 y - 1$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x^{3}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ mit $x^{3}$ .

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (2 y^{2}) + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 y^{2} + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 8) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x y x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Bewege $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 6.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{3 + 1} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $x (2 x + 2 y - 1)$ mit $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) x^{3} d y = 0$

Schritt 6.7

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 6.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x^{1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3 + 1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.7.3

Addiere $3$ und $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{4} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Schritt 6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Schritt 6.9

Vereinfache.

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Schritt 6.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Schritt 6.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Schritt 6.9.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Schritt 6.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.10.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.10.1.1

Bewege $x$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x \cdot x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Schritt 6.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 6.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x^{1} x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Schritt 6.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{1 + 4} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Schritt 6.10.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Schritt 6.10.2

Schreibe $- 1 x^{4}$ als $- x^{4}$ um.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x^{5} d y + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Schritt 8.3

Da $2 x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x^{4}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} \int y d y + \int - x^{4} d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{4} d y$

Schritt 8.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{4} y + C$

Schritt 8.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{4} y + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{5} y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$2 y (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 y x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{4} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 y x^{4} + y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.4.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ .

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Schritt 11.5.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4} y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.6

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 11.7

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 10 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $10 x^{4} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $4 x^{3} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2}$

Schritt 12.1.3

Addiere $4 x^{3} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$ .

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Schritt 12.1.4.1

Subtrahiere $10 x^{4} y$ von $10 x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.4.3

Ordne die Faktoren in den Termen $4 y^{2} x^{3}$ und $- 4 x^{3} y^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.4.4

Subtrahiere $4 x^{3} y^{2}$ von $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 + 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.4.5

Addiere $- 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.4.6

Ordne die Faktoren in den Termen $- 4 y x^{3}$ und $4 x^{3} y$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = - 4 x^{3} y + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.4.7

Addiere $- 4 x^{3} y$ und $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3} + 0$

Schritt 12.1.4.8

Addiere $8 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $8 x^{3}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 8 x^{3} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 8 x^{3} d x$

Schritt 13.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$g (x) = 8 \int x^{3} d x$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ um.

$g (x) = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{8}{4} x^{4} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{4} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$g (x) = 2 x^{4} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + 2 x^{4} + C$