Analysis Beispiele

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} y$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Schritt 3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

Schritt 3.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Schritt 3.7.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Schritt 3.7.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

Schritt 3.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

Schritt 3.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

Schritt 3.7.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 3.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Schritt 3.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Schritt 3.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Schritt 3.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Schritt 3.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

Schritt 3.7.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u}}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Schritt 4.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.2.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.5.2.2

Multipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.5.2.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.5.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.5.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.5.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.5.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.5.3.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3.5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.5.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.5.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Schreibe $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.8

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Schritt 5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ um.

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 5.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ als $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Schritt 6.2

Stelle $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$