Analysis Beispiele

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{2}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Schritt 3.4

Da $\frac{2}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 1$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 = 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Schritt 6

Integriere $M (x, y) = y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y x + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x + g (y)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

Schritt 10.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{2}{y} - x$ .

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Schritt 10.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $\frac{2}{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{2}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Schritt 11.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 11.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 11.5

Vereinfache.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Schritt 12

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Schritt 13.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$