Analysis Beispiele

$(x + y \cos (x)) d x + (\sin (x)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + y \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y \cos (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y \cos (x)$ nach $y$ gleich $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x)$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\cos (x)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\cos (x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\cos (x) = \cos (x)$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (x) = \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = \sin (x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \sin (x) y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y \cos (x)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + g (x)] = x + y \cos (x)$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sin (x) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Schritt 8.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = x + y \cos (x)$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = x + y \cos (x)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x + y \cos (x) - y \cos (x)$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + y \cos (x) - y \cos (x)$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y \cos (x)$ von $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$ um.

$f (x, y) = y \sin (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$