Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = - 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{- t}$ mit $1$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ um.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u = - t$ . Dann ist $d u = - d t$ , folglich $- d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 6.1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

Schritt 6.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

Schritt 6.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

Schritt 6.5

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ durch $e^{- t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ durch $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $1$ für $y$ in $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ ersetzt wird.

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ um.

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

Schritt 9.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$- 1 + C = 1$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 + 1$

Schritt 9.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$C = 2$

Schritt 10

Setze $2$ für $C$ in $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $2$ .

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$