Analysis Beispiele

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x (t^{2} - 1) d t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{3} - 3 t$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $t^{3} - 3 t$ aus $(t^{3} - 3 t) x$ heraus.

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ in den Zähler.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $(t^{3} - 3 t) x$ heraus.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Schritt 3.4

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} - 3 t$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $t$ aus $- 3 t$ heraus.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ heraus.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Schritt 3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ und $t$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Schritt 3.9

Multipliziere $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Schritt 3.11

Um $- \frac{t}{t^{2} - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Schritt 3.12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(t^{2} - 3) t$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $\frac{t}{t^{2} - 3}$ mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Schritt 3.12.2

Stelle die Faktoren von $(t^{2} - 3) t$ um.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Schritt 3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 3.14.2

Schreibe $t \cdot t$ als $t^{2}$ um.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 3.14.3

Stelle $- t^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 3.14.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.3.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.3.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.3.1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2} - 3$ .

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Schritt 4.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.3.2.2

Dividiere $(1 + t) (1 - t)$ durch $1$ .

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.4

Multipliziere $(1 + t) (1 - t)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5.1.2

Mutltipliziere $- t$ mit $1$ .

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5.1.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5.1.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1.5.1.5.1

Bewege $t$ .

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5.1.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5.2

Addiere $- t$ und $t$ .

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.5.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.6

Stelle $1$ und $- t^{2}$ um.

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.3.1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.7.1.2

Dividiere $A (t^{2} - 3)$ durch $1$ .

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.7.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2} - 3$ .

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Schritt 4.3.1.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.1.7.4.2

Dividiere $(B t + C) (t)$ durch $1$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Schritt 4.3.1.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Schritt 4.3.1.1.7.6

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1.7.6.1

Bewege $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Schritt 4.3.1.1.7.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Schritt 4.3.1.1.8

Bewege $- 3 A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.3.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $t^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = A + B$

Schritt 4.3.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $t$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 4.3.1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $t$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 3 A$

Schritt 4.3.1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Schritt 4.3.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Schritt 4.3.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.1.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 A = 1$ um.

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Schritt 4.3.1.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Schritt 4.3.1.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 4.3.1.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Schritt 4.3.1.3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Schritt 4.3.1.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Schritt 4.3.1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- \frac{1}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $- 1 = A + B$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4

Löse in $- 1 = - \frac{1}{3} + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} + B = - 1$ um.

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1.3.4.2.1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.3.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4.2.5.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Schritt 4.3.1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Schritt 4.3.1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.5.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.5.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.5.2.3

Addiere $- \frac{2 t}{3}$ und $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

Schritt 4.3.1.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{2} - 3}$ mit $\frac{2 t}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.5.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{2} - 3$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Schritt 4.3.1.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Schritt 4.3.1.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{t}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Schritt 4.3.1.5.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 4.3.7

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Schritt 4.3.8

Sei $u = t^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.8.1

Es sei $u = t^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.8.1.1

Differenziere $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Schritt 4.3.8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 4.3.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 4.3.8.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 t + 0$

Schritt 4.3.8.1.5

Addiere $2 t$ und $0$ .

$2 t$

Schritt 4.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

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Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.3.11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.11.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

Schritt 4.3.13

Vereinfache.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

Schritt 4.3.14

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} - 3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Kombiniere $\ln (| t |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Schritt 5.1.1.2

Kombiniere $\ln (| t^{2} - 3 |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ mit $3$ .

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| t |)}{3}$ in den Zähler.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ in den Zähler.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Schritt 5.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Schritt 5.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

Schritt 5.7

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

Schritt 5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Schritt 5.9

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Schritt 5.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

Schritt 5.9.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

Schritt 5.10

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

Schritt 5.11

Schreibe $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

Schritt 5.12

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.12.1

Schreibe die Gleichung als ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ um.

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

Schritt 5.12.2

Teile jeden Ausdruck in ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ durch $| t^{3} - 3 t |$ und vereinfache.

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Schritt 5.12.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ durch $| t^{3} - 3 t |$ .

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Schritt 5.12.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.12.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| t^{3} - 3 t |$ .

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Schritt 5.12.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Schritt 5.12.2.2.1.2

Dividiere ${| x |}^{3}$ durch $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Schritt 5.12.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.12.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.12.2.3.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} - 3 t$ heraus.

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Schritt 5.12.2.3.1.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Schritt 5.12.2.3.1.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- 3 t$ heraus.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Schritt 5.12.2.3.1.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ heraus.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Schritt 5.12.2.3.1.3

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.12.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 5.12.2.3.1.3.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Schritt 5.12.2.3.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

Schritt 5.12.2.3.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

Schritt 5.12.2.3.1.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

Schritt 5.12.2.3.1.5

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} - 3 t$ heraus.

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Schritt 5.12.2.3.1.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Schritt 5.12.2.3.1.5.2

Faktorisiere $t$ aus $- 3 t$ heraus.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Schritt 5.12.2.3.1.5.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ heraus.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

Schritt 5.12.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

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Schritt 5.12.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ als $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ um.

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Schritt 5.12.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.12.4.2.1

Schreibe $e^{3 C}$ als ${(e^{C})}^{3}$ um.

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Schritt 5.12.4.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Schritt 5.12.4.3

Mutltipliziere $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Schritt 5.12.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.12.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Schritt 5.12.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ mit $1$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Schritt 5.12.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.12.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

Schritt 5.12.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ als $| t (t^{2} - 3) |$ um.

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Schritt 5.12.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ als ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.12.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.12.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.12.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.12.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.12.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

Schritt 5.12.4.4.5.5

Vereinfache.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ um.

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.12.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.2

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.12.6.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 5.12.6.2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.4

Entferne den Absolutwert in ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.5

Schreibe ${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ als $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ um.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.6

Multipliziere $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.12.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.12.6.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.12.6.7.1.1

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.12.6.7.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.1.2

Addiere $3$ und $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.3

Multipliziere $t^{3}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.12.6.7.1.3.1

Bewege $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{3}$ .

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Schritt 5.12.6.7.1.3.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.4

Multipliziere $t$ mit $t^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.12.6.7.1.4.1

Bewege $t^{3}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.4.2

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $t$ .

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Schritt 5.12.6.7.1.4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.6

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.12.6.7.1.6.1

Bewege $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.7.2

Subtrahiere $3 t^{4}$ von $- 3 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.8

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ heraus.

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Schritt 5.12.6.8.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{6}$ heraus.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.8.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- 6 t^{4}$ heraus.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.8.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $9 t^{2}$ heraus.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.8.4

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ heraus.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.8.5

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ heraus.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.9

Schreibe $t^{4}$ als ${(t^{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.10

Es sei $u = t^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.11

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.12.6.11.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.11.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Schritt 5.12.6.11.3

Schreibe das Polynom neu.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.11.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 5.12.6.12

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$