Analysis Beispiele

$(y^{2} - 2 x y + 6) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 2 x y + 6$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 1.4

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2 y - 2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x y + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.5

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

Schritt 2.9

Addiere $2 x - 2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

Schritt 2.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 x + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x + 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Schritt 5.4

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

Schritt 5.6

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

Schritt 5.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

Schritt 5.8

Vereinfache.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.5

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $x$ gleich $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.7

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.3.10

Addiere $2 y x - y^{2}$ und $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.5.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 8.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2}$

Schritt 9.1.2

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 0 + 2 x y$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $- 2 x y + 6$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 2 x y$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 6$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $0$ und $6$ .

$\frac{d g}{d x} = 6$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $6$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 6$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 d x$

Schritt 10.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 6 x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 6 x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Multipliziere $- (- x y^{2})$ .

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 6 x + C$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 6 x + C$