Analysis Beispiele

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$2 y d y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x^{2} - 16$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x^{2} - 16$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$y^{2} + C_{1} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + K$