Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int d x + \int - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- \frac{8}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{8}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = x + C_{2} - \frac{8}{3} \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - \frac{8}{3} (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = x - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $\frac{8}{3}$ .

$y + C_{1} = x - \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y + C_{1} = x - \frac{24}{8 \cdot 3} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$y + C_{1} = x - \frac{24}{24} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 2.3.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = x - \frac{24}{24} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = x - 1 \cdot 1 x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y + C_{1} = x - x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x - x^{\frac{8}{3}} + K$