Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{x} + y$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} e^{x}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} e^{x}$

Schritt 3.3

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x + x}$

Schritt 3.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0}$

Schritt 3.4

Vereinfache $e^{0}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 1$

Schritt 3.5

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 1$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 1$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 1$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x} y = x + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$