Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x}$

Schritt 1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Schritt 3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | x^{2}) = C$

Schritt 3.2.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| y | x^{2})$ um.

$\ln (x^{2} | y |) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} | y |)} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (x^{2} | y |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | y |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} | y | = e^{C}$ um.

$x^{2} | y | = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | y | = e^{C}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | y | = e^{C}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 3.5.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C \frac{1}{x^{2}}$