Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + C$

Schritt 7.2.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + C$

Schritt 7.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Vereinfache $(\ln (x^{2}) + C) x$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 7.4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{2}) x + C x$ um.

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Schritt 7.4.2.1.2.2

Stelle $x \ln (x^{2})$ und $C x$ um.

$y = C x + x \ln (x^{2})$