Analysis Beispiele

$\frac{y d y}{t d t} = e^{t^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d t}$ aus.

$\frac{y}{t} \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $\frac{d y}{d t}$ auf.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{y}{t}$ und $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} = e^{t^{2}}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten mit $t$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}} t$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{t^{2}} t$ um.

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ durch $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = t e^{t^{2}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int t e^{t^{2}} d t$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t e^{t^{2}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = t^{2}$ . Dann ist $d u = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{t^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = e^{t^{2}} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + K}$