Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Schritt 2.3

Multipliziere $e^{3 x}$ mit $e^{- 2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ um.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

Schritt 6.5

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.5.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.5.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

Schritt 6.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

Schritt 6.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

Schritt 6.8

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Schritt 6.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

Schritt 6.10

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

Schritt 6.11

Vereinfache.

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

Schritt 6.12

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ durch $e^{3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ durch $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $\frac{1}{3} x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Dividiere $- \frac{1}{9}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.3.1.3.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $e^{x}$ heraus.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.3.2.4

Dividiere $e^{- 2 x}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{9}$ von $\frac{1}{3} x$ .

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Schritt 7.3.2.1

Stelle $\frac{1}{3}$ und $x$ um.

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.2

Um $x \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $x \frac{1}{3}$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.4

Um $e^{- 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.5.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.6.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.7

Um $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.8

Um $\frac{C}{e^{3 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 7.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 e^{3 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ mit $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 7.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{3 x}}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Schritt 7.3.9.3

Stelle die Faktoren von $e^{3 x} \cdot 9$ um.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.3.11.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.11.2.1

Multipliziere $e^{- 2 x}$ mit $e^{3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.11.2.1.1

Bewege $e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.3.11.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.3.11.2.1.3

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.3.11.2.2

Schreibe $- 1 e^{3 x}$ als $- e^{3 x}$ um.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.3.11.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$