Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{- 3} + 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{- 3} + 2) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{- 3} + 2 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{- 3} + 2 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{- 3} d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + \int 2 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.3.4.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 x - \frac{1}{2 x^{2}} + K$