Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 2 x y - 6 x = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 6 x = 2 x y$

Schritt 1.1.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 6 x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x y + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 6 x$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 2 x (3)$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (y) + 2 x (3)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y + 3)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (2 x (y + 3))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y + 3} (x (y + 3))$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} (x (y + 3))$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $y + 3$ aus $x (y + 3)$ heraus.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) x)$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) x)$

Schritt 1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 3} d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 3$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 3 |) = x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{x^{2} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y + 3 |) = x^{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y + 3 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y + 3 | = e^{x^{2} + C}$ um.

$| y + 3 | = e^{x^{2} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{x^{2} + C}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{x^{2} + C} - 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x^{2} + C}$ als $e^{x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C} - 3$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}} - 3$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{x^{2}} - 3$