Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y + 3 x - y - 3)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y + 3 x) - y - 3}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 3) - (y + 3)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{(x y - 2 x) + 4 y - 8}$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{x (y - 2) + 4 (y - 2)}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{(y - 2) (x + 4)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x + 4} \cdot \frac{y + 3}{y - 2}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y - 2}{y + 3}$ .

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} (\frac{x - 1}{x + 4} \cdot \frac{y + 3}{y - 2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x + 4}$ mit $\frac{y + 3}{y - 2}$ .

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(x + 4) (y - 2)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y - 2$ aus $(x + 4) (y - 2)$ heraus.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(y - 2) (x + 4)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(y - 2) (x + 4)}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{x + 4}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y + 3$ aus $(x - 1) (y + 3)$ heraus.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(y + 3) (x - 1)}{x + 4}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(y + 3) (x - 1)}{x + 4}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x + 4}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y - 2}{y + 3} d y = \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividiere $y - 2$ durch $y + 3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$3$

$y$

$2$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

Schritt 2.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

Schritt 2.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

Schritt 2.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.7

Sei $u_{1} = y + 3$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.7.1

Es sei $u_{1} = y + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.7.1.1

Differenziere $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Schritt 2.2.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.7.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} - 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - 5 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

$y - 5 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.2.10

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 3$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $x - 1$ durch $x + 4$ .

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Schritt 2.3.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x$

$1$

Schritt 2.3.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	-	$1$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$4$

Schritt 2.3.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 4$

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$4$

Schritt 2.3.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$4$
					-	$5$

Schritt 2.3.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 4} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 4} d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 4} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 4} d x$

Schritt 2.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 4} d x$

Schritt 2.3.7

Sei $u_{2} = x + 4$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.7.1

Es sei $u_{2} = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.7.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 2.3.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.7.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 4 |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) = x - 5 \ln (| x + 4 |) + C$